度量空间
度量空间也叫做距离空间（metric space）。这是一种拓扑空间，其上的拓扑由指定的距离决定。在一个空间中引入距离是为了刻画“收敛”这个概念，同时距离也能够定义在向量空间中的（准）范数。
距离空间
距离空间$\mathscr{X}$是指非空集$\mathscr{X}$上定义了一个双变量的实值函数$\rho(x,y)$，该函数满足以下三个条件：
- $\rho(x,y) \geq 0$，等号成立条件当且仅当$x=y$ （非负）
- $\rho(x,y)=\rho(y,x)$ （可交换）
- $\rho(x,y)\leq \rho(x,z) + \rho(z,y)$ （三角不等式）
以$\rho$为距离的度量空间记作$(\mathscr{X}, \rho)$。“距离”的概念是对欧式空间距离的抽象，不难发现欧式空间两点间的距离满足以上的条件。
空间$C[a,b]$
空间$C[a,b]$定义为在区间$[a.b]$上的连续函数全体（即这个空间内的点就是函数）。在其上定义距离
距离空间$(C[a,b], \rho)$在以后简记为$C[a,b]$.
收敛
距离空间$(\mathscr{X}, \rho)$上的点列$\{x_n\}$叫做收敛到$x_0$指的是：
这时也记作$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$，或者简单记作$x_n \rightarrow x_0$.
而在函数空间$C[a,b]$中的点列$\{x_n\}$收敛到$x_0$指的是$\{x_n(t)\}$一致收敛到$x_0(t)$.
完备
基本列（柯西列）：点列$\{x_n\}$是基本列，如果 $\rho\left(x_{n}, x_{m}\right) \rightarrow 0(n, m \rightarrow \infty)$。
如果空间中的所有基本列都是收敛列，那么这个空间就是完备的。
连续映射
设$T:(\mathscr{X}, \rho) \rightarrow(\mathscr{Y}, r)$ 是一个映射。如果对于$\mathscr{X}$中的任意点列$\{x_n\}$和点$x_0$，都有：
则称映射$T$是连续的。
压缩映射
设$T:(\mathscr{X}, \rho) \rightarrow(\mathscr{X}, \rho)$ 是一个到自身的映射。如果存在$0<\alpha<1$，使得对于任意的$x,y \in \mathscr{X}$，都有：
则称映射$T$为一个压缩映射。
Banach不动点定理（压缩映射原理）
假设$(\mathscr{X}, \rho)$是一个完备的距离空间，$T$是这个距离空间上到自身的一个压缩映射，则在该空间上存在唯一的不动点$x^$，使得$Tx^=x^*$.
线性赋范空间
距离空间中只有拓扑结构，但是在分析函数空间的时候还需要考虑元素之间的代数运算。
线性空间
定义
设$\mathscr{X}$为一个非空集，$\mathbb{K}$为实（复）数域，如果下列条件满足，则称$\mathscr{X}$为实（复）线性空间。
- $\mathscr{X}$是一个加法交换群，也即：
- $x+y=y+x$ （加法交换律）
- $(x+y)+z = x+(y+z)$ （加法结合律）
- 存在唯一的$\theta \in \mathscr{X}$，使得$\forall x \in \mathscr{X}, x+\theta=\theta+x$ （唯一零元）
- 对$\forall x \in \mathscr{X}$, 存在唯一的$ x^{\prime} \in \mathscr{X}$，使得$x+x^\prime=\theta$，记为$-x$（唯一负元）
- 定义了数域$\mathbb{K}$中的数$a$和$x\in \mathscr{X}$的数乘运算，满足以下条件：
- $a(\beta x)=(a \beta) x $ （数乘的结合律）
- $1 \cdot x=x$ （乘法零元）
- $(a+\beta) x=a x+\beta x$ （分配率）
- $a(x+y)=a x+a y$ （分配率）
线性空间上的距离
线性空间上的距离定义一共需要满足两个关键条件：
一、平移的不变性：
而通过平移的不变性能够推出距离函数是对加法连续的，即：
证明步骤只需要根据平移不变形的定义就可，在此省略。事实上，这两者是相互等价的。
二、数乘的连续性：
数乘连续性定义为以下：
- $\rho\left(x_{\mathfrak{n}}, x\right) \rightarrow 0 \Rightarrow \rho\left(a x_{\mathfrak{n}}, a x\right) \rightarrow 0 \quad(\forall a \in \mathbb{K})$
- $a_{n} \rightarrow a(\mathbb{K}) \Rightarrow \rho\left(a_{n} x, a x\right) \rightarrow 0 \quad(\forall x \in \mathscr{X})$
线性空间上的准范数（模）
在距离的基础上定义一个单值函数$p$：
通过距离函数本身的3个性质，我们能够得出这个单值函数$p$的性质（略过）。而事实上，这个单值函数是我们刻画一个点大小的量，也就是准范数。
线性空间$\mathscr{X}$上的准范数定义为该空间上的的一个函数$|\cdot|: \mathscr{X} \rightarrow \mathbb{R}^{1}$，满足以下条件：
- $|x| \geqslant 0 \quad(\forall x \in \mathscr{X});|x|=0 \Leftrightarrow x=\theta$ （正定性）
- $| x+y|\leqslant| x|+| y | \quad(\forall x, y \in \mathscr{X})$ （三角不等式）
- $|-x|=|x| \quad(\forall x \in \mathscr{X})$ （逆元范数相等）
- $\lim _{a_n \rightarrow 0}\left|a_{n} x\right|=0, \lim _{|x_n| \rightarrow 0}\left|a x_{n}\right|=0(\forall x \in \mathscr{X}, \quad \forall a \in \mathbb{R})$ （对数乘连续）
如果在赋准范数空间$\mathscr{X}$上用准范数来定义收敛，即：
那么这个空间就称作${F^*}$空间；如果这个空间同时又是完备的，那么这个空间就称作$F$空间。
Banach空间与范数
在准范数的基础上增加齐次性条件，准范数便成为了范数。其中齐次性条件指的是：
当赋准范数的线性空间中的准范数是范数时，这个线性空间称为$B^$空间；完备的$B^$空间称作$B$空间，也就是Banach空间。我们也叫该空间为线性赋范空间。
线性赋范空间上的模等价
和开头所介绍的一样，引入距离和范数是为了研究一种收敛性。因此我们可以认为导致同一种收敛性的不同范数是等价的。更加准确地说：
假设在线性空间$\mathscr{X}$上定义了两个范数$|\cdot|_1$以及$|\cdot|_2$，如果在$n\rightarrow \infty$时，$\left|x_{n}\right|_{2} \rightarrow 0 \Rightarrow\left|x_{n}\right|_{1} \rightarrow 0$，则我们认为$|\cdot|_1$比$|\cdot|_2$强。而如果两个范数互相都比对方强，则我们认为两个范数等价。